PCA(Principal Component Analysis,PCA )是主成分分析，主要用于数据降维。PCA算是机器学习中基础的算法之一了，今天我们先从原理上分析一下PCA，下一篇再推导一下PCA的原理实现。

在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。

因此需要找到一个合理的方法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的。由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析与因子分析就属于这类降维的方法。

算法引入

下表是某些学生的语文、数学、物理、化学成绩统计：

首先，假设这些科目成绩不相关，也就是说某一科目考多少分与其他科目没有关系。那么一眼就能看出来，数学、物理、化学这三门课的成绩构成了这组数据的主成分（很显然，数学作为第一主成分，因为数学成绩拉的最开）。为什么一眼能看出来？因为坐标轴选对了！下面再看一组学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语成绩统计，见下表，还能不能一眼看出来：

数据太多了，以至于看起来有些凌乱！也就是说，无法直接看出这组数据的主成分，因为在坐标系下这组数据分布的很散乱。究其原因，是因为无法拨开遮住肉眼的迷雾~如果把这些数据在相应的空间中表示出来，也许你就能换一个观察角度找出主成分。如下图所示：

数据降维

为了说明什么是数据的主成分，先从数据降维说起。数据降维是怎么回事儿？假设三维空间中有一系列点，这些点分布在一个过原点的斜面上，如果你用自然坐标系x,y,z这三个轴来表示这组数据的话，需要使用三个维度，而事实上，这些点的分布仅仅是在一个二维的平面上，那么，问题出在哪里？如果你再仔细想想，能不能把x,y,z坐标系旋转一下，使数据所在平面与x,y平面重合？这就对了！如果把旋转后的坐标系记为 x’,y’,z’，那么这组数据的表示只用x’和y’两个维度表示即可！当然了，如果想恢复原来的表示方式，那就得把这两个坐标之间的变换矩阵存下来。这样就能把数据维度降下来了！但是，我们要看到这个过程的本质，如果把这些数据按行或者按列排成一个矩阵，那么这个矩阵的秩就是2！这些数据之间是有相关性的，这些数据构成的过原点的向量的最大线性无关组包含2个向量，这就是为什么一开始就假设平面过原点的原因！那么如果平面不过原点呢？这就是数据中心化的缘故！将坐标原点平移到数据中心，这样原本不相关的数据在这个新坐标系中就有相关性了！有趣的是，三点一定共面，也就是说三维空间中任意三点中心化后都是线性相关的，一般来讲n维空间中的n个点一定能在一个 n-1维子空间中分析！

上一段文字中，认为把数据降维后并没有丢弃任何东西，因为这些数据在平面以外的第三个维度的分量都为0。现在，假设这些数据在z’轴有一个很小的抖动，那么我们仍然用上述的二维表示这些数据，理由是我们可以认为这两个轴的信息是数据的主成分，而这些信息对于我们的分析已经足够了，z’轴上的抖动很有可能是噪声，也就是说本来这组数据是有相关性的，噪声的引入，导致了数据不完全相关，但是，这些数据在z’轴上的分布与原点构成的夹角非常小，也就是说在z’轴上有很大的相关性，综合这些考虑，就可以认为数据在x’,y’ 轴上的投影构成了数据的主成分！

PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k<n），这k维是全新的正交特征。这k维特征称为主成分，是重新构造出来的k维特征，而不是简单地从n维特征中去除其余n-k维特征。

PCA实例

现在假设有一组数据如下：

行代表了样例，列代表特征，这里有10个样例，每个样例两个特征。可以这样认为，有10篇文档，x是10篇文档中“learn”出现的TF-IDF， y是10篇文档中“study”出现的TF-IDF。

第一步，分别求x和y的平均值，然后对于所有的样例，都减去对应的均值。这里x的均值是1.81，y的均值是1.91，那么一个样例减去均值后即为（0.69,0.49），得到

第二步，求特征协方差矩阵，如果数据是3维，那么协方差矩阵是

这里只有x和y，求解得

对角线上分别是x和y的方差，非对角线上是协方差。协方差是衡量两个变量同时变化的变化程度。协方差大于0表示x和y若一个增，另一个也增；小于0表示一个增，一个减。如果ｘ和ｙ是统计独立的，那么二者之间的协方差就是０；但是协方差是０，并不能说明ｘ和ｙ是独立的。协方差绝对值越大，两者对彼此的影响越大，反之越小。协方差是没有单位的量，因此，如果同样的两个变量所采用的量纲发生变化，它们的协方差也会产生树枝上的变化。

第三步，求协方差的特征值和特征向量，得到